中南民族大学 2021年硕士研究生入学考试自命题科目考试概要

科目名字：数学剖析 科目代码：601

适用学科（数学）专业（应用数学、运筹学与控制论）

1、考试性质

《数学剖析》考试是为中南民族大学数学与统计学学院招收数学学科（含应用数学、运筹学与控制论两个专业）的硕士研究生而设置的具备选拔性质的入学考试考哪几科，其目的是科学、公平、有效地测试考生学会《数学剖析》中入门知识、基本理论、基本办法的水平和剖析问题、解决问题的能力。评价标准设置为数学学科出色本科毕业生能达到及格及及格以上水平，有益于中南民族大学数学与统计学学院择优选拔，确保硕士研究生的招生水平。

2、考查目的

需要考生比较系统地理解数学剖析的基本定义和基本理论，学会数学剖析的基本思想和办法。需要考生具备抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的常识剖析问题和解决问题的能力。

3、考试形式和试题结构

1. 本试题满分为（ 150）分，考试时间为（ 3 ）小时

2. 考试方法为闭卷、笔试。

3. 试题考查的题型及其比率

计算题（40%）、研讨题、证明题

4、考查内容

第一部分 极限和函数的连续性

一 、考试主要内容

映射与函数；数列的极限、函数的极限；连续函数、函数的连续性和一致连续性；R2 中的点集、实数系的连续性；函数和连续函数的各种性质。

二 、报考条件

1. 熟练学会数列极限与函数极限的定义；理解无穷小量的定义及基本性质。

2. 学会极限的性质及四则运算性质，可以熟练运用两面夹原理和两个特殊极限求极限。

3. 学会实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆盖定理，Cauchy 收敛准则；并理解相互关系。

4. 熟练学会函数连续性的定义及有关的不连续点种类。可以运用函数连续的四则运算与复合运算性质与相对应的；并理解两者的相互关系。

5. 熟练学会闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理；知道Contor 定理。

第二部分 一元函数微分学

一 、考试主要内容

微分的定义、导数的定义、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式公式；导数的应用。

二 、报考条件

1. 理解导数和微分的定义及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

2. 熟练学会函数导数与微分的运算法则，包含高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

3. 熟练学会Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理与Taylor 展式。

4. 可以用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

5. 学会用洛必达法则求不定式极限的办法。

第三部分 一元函数积分学

一 、考试主要内容

定积分的定义、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的定义和广义积分收敛的辨别法。

二 、报考条件

1. 理解不定积分的定义。学会不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。

2. 学会定积分的定义，包含Darboux 和，上、下积分及可积条件与可积函数类。

3. 学会定积分的性质，熟练学会微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法与积分中值定理。

4. 可以用定积分表达和计算如下几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的水平与质心。

5. 理解广义积分的定义。熟练学会判断广义积分收敛的比较辨别法，Abel 辨别法和 Dirichlet 辨别法；其中包含积分第二中值定理。第四部分 无穷级数

一 、考试主要内容

数项级数的定义、数项级数敛散的辨别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的辨别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

二 、报考条件

1. 理解数项级数敛散性的定义，学会数项级数的基本性质。

2. 熟练学会正项级数敛散的必要条件，比较辨别法，Cauchy 辨别法，D‘Alembert 辨别法与积分辨别法。

3. 熟练学会任意项级数绝对收敛与条件收敛的定义及其相互关系。熟练学会交错级数的 Leibnitz 辨别法。学会绝对收敛级数的性质。

4. 熟练学会函数项级数一致收敛性的定义与判断一致收敛性的 Weierstrass 辨别法。Abel 辨别法、Cauchy 辨别法和 Dirichlet 辨别法。

5. 学会幂级数及其收敛半径的定义，包含Cauchy-Hadamard 定理和Abel 第肯定理。

6. 熟练学会幂级数的性质，可以将函数展开为幂级数，理解余项公示。

第五部分 多元函数微分学与积分学

一 、考试主要内容

多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的定义、重积分的定义及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的概念和辨别。

二 、报考条件

1. 理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的定义，会求多元函数的偏导数与全微分。

2. 学会隐函数存在定理。

3. 熟练学会求多元函数极值和无条件极值，知道偏导数的几何应用。

4. 熟练学会重积分、曲线积分和曲面积分的定义与计算。

5. 熟练学会Gauss 公式、Green 公式和Stoks 公式及其应用。

第六部分 含参变量积分

一 、考试主要内容

含参变量积分的定义、性质，计算。

二 、报考条件

1. 知道含参变量常义积分的定义与性质。

2. 熟练学会变上限和变下限积分剖析性质。

5、参考书目

华东师范大学数学系编：《数学剖析》上、下册，高等教育出版社，2010 年 7 月，第四版。

6、特殊说明

本自命题考试考哪几科不需要计算器。